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人物簡介
艾薩克·牛頓（Isaac Newton，1643年1月4日－1727年3月31日），是英國物理學家、數(shù)學家、哲學家。
生于英格蘭林肯郡伍爾索普村，畢業(yè)于劍橋大學，后任該校教授。還曾擔任英國皇家學會會員、會長。在1687年發(fā)表的論文《自然定律》中，對萬有引力和牛頓三大定律進行了描述。這些描述奠定了此后三個世紀里物理世界的科學觀點，并成為了現(xiàn)代工程學的基礎。由于他建立了經(jīng)典力學的基本體系，人們常把經(jīng)典力學稱為“牛頓力學”。 [26]牛頓通過論證開普勒行星運動定律與他的引力理論間的一致性，展示了地面物體與天體的運動都遵循著相同的自然定律；為太陽中心說提供了強有力的理論支持，并推動了科學革命。
在力學上，牛頓闡明了動量和角動量守恒的原理，提出牛頓運動定律。在光學上，他發(fā)明了反射望遠鏡，并基于對三棱鏡將白光發(fā)散成可見光譜的觀察，發(fā)展出了顏色理論。他還系統(tǒng)地表述了冷卻定律，并研究了音速。在數(shù)學上，牛頓與萊布尼茨分享了發(fā)展出微積分學的榮譽。他也證明了廣義二項式定理，提出了“牛頓法”以趨近函數(shù)的零點，并為冪級數(shù)的研究作出了貢獻。在經(jīng)濟學上，牛頓提出金本位制度。牛頓被譽為百科全書式的“全才”，他在物理學和數(shù)學方面的發(fā)現(xiàn)使科學發(fā)生了革命性的變化 [23]，使其在科學史上有重要的崇高地位 [3]。著作有《自然哲學的數(shù)學原理》《光學》等
少年時代
1643年1月4日，艾薩克（一譯“伊薩克” [3]）·牛頓出生于英格蘭林肯郡伍爾索普村的伍爾索普（Woolsthorpe）莊園。在牛頓出生之時，英格蘭并沒有采用教皇的最新歷法（即格里高利歷），因此他的生日被記載為1642年的圣誕節(jié)（12月25日）。牛頓出生前三個月，他同樣名為艾薩克的父親才剛去世。由于早產(chǎn)的緣故，新生的牛頓十分瘦小；據(jù)傳聞，他的母親漢娜·艾斯庫（Hannah Ayscough）曾說過，牛頓剛出生時小得可以把他裝進一夸脫的馬克杯中。當牛頓3歲時，他的母親改嫁并住進了新丈夫巴納巴斯·史密斯（Barnabus Smith）牧師的家，而把牛頓托付給了他的外祖母瑪杰里·艾斯庫（Margery Ayscough）。年幼的牛頓不喜歡他的繼父，并因母親改嫁的事而對母親持有一些敵意，牛頓甚至曾經(jīng)寫下：“威脅我的繼父與生母，要把他們連同房子一齊燒掉。” [1-2]
1648年，牛頓被送去讀書。少年時的牛頓并不是神童，他成績一般，但他喜歡讀書，喜歡看一些介紹各種簡單機械模型制作方法的讀物，并從中受到啟發(fā)，自己動手制作些奇奇怪怪的小玩意，如風車、木鐘、折疊式提燈等。
傳說小牛頓把風車的機械原理摸透后，自己制造了一架磨坊的模型，他將老鼠綁在一架有輪子的踏車上，然后在輪子的前面放上一粒玉米，剛好那地方是老鼠夠不到的位置。老鼠想吃玉米，就不斷跑動，于是帶動輪子不停地轉(zhuǎn)動；有一次他放風箏時，在繩子上懸掛著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現(xiàn)；他還喜歡繪畫、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家里墻角、窗臺上到處安放著他刻畫的日晷，用以驗看日影的移動。 [3]
1654年，牛頓去往離家有十幾公里遠的金格斯皇家中學讀書。牛頓的母親原本希望他成為一個農(nóng)民，但牛頓本人卻無意于此，他酷愛讀書。隨著年歲的增大，牛頓越發(fā)愛好讀書，喜歡沉思，做科學小實驗。他在金格斯皇家中學讀書時，曾經(jīng)寄宿在藥劑師克拉克的藥店樓上（一說家中） [3]，使他受到了化學試驗的熏陶。
牛頓在中學時代學習成績很突出，對自然現(xiàn)象有好奇心，例如顏色、日影四季的移動，尤其是幾何學、哥白尼的日心說等等。他還分門別類地記讀書筆記，又喜歡別出心裁地做些小工具、小技巧、小發(fā)明、小試驗。 [4]他曾用木箱和玻璃瓶做成水鐘，控制時間，每天黎明水鐘按時滴水到他的臉上，把他叫醒。 [3]
當時英國社會滲透基督教新思想，牛頓家里有兩位都以神父為職業(yè)的親戚，這可能是牛頓晚年的宗教生活所受的影響。僅從這些平凡的環(huán)境和活動中，還看不出幼年的牛頓是個才能出眾異于常人的兒童。
后來迫于生活困難，母親讓牛頓停學在家務農(nóng)，贍養(yǎng)家庭。但牛頓一有機會便埋首書卷，以至經(jīng)常忘了干活。每次，母親叫他同傭人一道上市場，熟悉做交易的生意經(jīng)時，他便懇求傭人一個人上街，自己則躲在樹叢后看書。有一次，牛頓的舅父起了疑心，就跟蹤牛頓上市鎮(zhèn)去，發(fā)現(xiàn)他的外甥伸著腿，躺在草地上，正在聚精會神地鉆研一個數(shù)學問題。牛頓的好學精神感動了舅父，于是舅父勸服了母親讓牛頓復學，并鼓勵牛頓上大學讀書。牛頓又重新回到了學校，如饑似渴地汲取著書本上的營養(yǎng)。一說是有一次，他在暴風雨中跑來跑去測驗風力，澆得渾身濕透，他母親驚呆了，怕他真的瘋了，只好同牛頓的舅舅詹姆士商量，仍叫牛頓繼續(xù)上學 [3]。
據(jù)《大數(shù)學家》（Men of Mathematics，E·T·貝爾（E.T. Bell）著）和《數(shù)學史介紹》（An introduction to the history of mathematics，H·伊夫斯（H. Eves）著）兩書記載：“牛頓在鄉(xiāng)村學校開始學校教育的生活，后來被送到了格蘭瑟姆的國王中學，并成為了該校最出色的學生。在國王中學時，他寄宿在當?shù)氐乃巹熗?middot;克拉克（William Clarke）家中，并在19歲前往劍橋大學求學前，與藥劑師的繼女安妮·斯托勒（Anne Storer）訂婚。之后因為牛頓專注于他的研究而使得愛情冷卻，斯托勒小姐嫁給了別人。據(jù)說牛頓對這次的戀情保有一段美好的回憶，但此后便再也沒有其他的羅曼史，牛頓也終生未娶。” [3]
不過據(jù)和牛頓同時代的友人威廉·斯蒂克利（William Stukeley）所著的《艾薩克·牛頓爵士生平回憶錄》（Memoirs of Sir Isaac Newton's Life）一書的描述，斯蒂克利在牛頓死后曾訪問過文森特（Vincent）夫人，也就是當年牛頓的戀人斯托勒小姐。文森特夫人的名字叫作凱瑟琳，而不是安妮，安妮是她的妹妹（參見Arthur Storer），而且夫人僅表示牛頓當年寄宿時對她只不過是“懷有情愫”的程度而已。
從12歲左右到17歲，牛頓都在金格斯皇家中學學習，在該校圖書館的窗臺上還可以看見他當年的簽名。他曾從學校退學，并在1659年10月回到埃爾斯索普村，因為他再度守寡的母親想讓牛頓當一名農(nóng)夫。牛頓雖然順從了母親的意思，但據(jù)牛頓的同儕后來的敘述，耕作工作讓牛頓相當不快樂。所幸金格斯皇家中學的校長亨利·斯托克斯（Henry Stokes）說服了牛頓的母親，牛頓又被送回了學校以完成他的學業(yè)。他在18歲時完成了中學的學業(yè)，并得到了一份完美的畢業(yè)報告。
1661年6月3日，18歲的牛頓從金格斯中學畢業(yè)，考上了劍橋大學三一學院。 [4]在那時，該學院的教學基于亞里士多德的學說。牛頓讀到三年級時，曾游歷過歐洲大陸的學者伊薩克·巴羅成為英國第一位得到“盧卡斯數(shù)學教授席位”的學者，并把哥白尼、開普勒、伽利略、笛卡兒的近代自然科學理論和研究方法傳授給學生。巴羅教授發(fā)現(xiàn)牛頓是個人才，舉薦他為研究生。1665年，他發(fā)現(xiàn)了廣義二項式定理，并開始發(fā)展一套新的數(shù)學理論，也就是后來為世人所熟知的微積分學。同年，牛頓從劍橋大學畢業(yè)，留在大學研究室。這一年6月，劍橋大學為預防倫敦大瘟疫而關閉，牛頓只得回家。在此后兩年里，牛頓在家中繼續(xù)研究微積分學、光學和萬有引力定律。 [3]
1667年3月，牛頓回到劍橋大學，在巴羅教授指導下繼續(xù)研究，在自己的房間后面設立了一個實驗室。他制成放大40倍的反射望遠鏡，可以清楚看到木星的四個衛(wèi)星，還在數(shù)學上提出非線性方程的解法。他是那樣專心致志，所以經(jīng)常在他的朋友和親屬中流傳著一些趣聞軼事，例如：有次煮雞蛋，竟把懷表當作雞蛋煮了。 [3]
1669年10月29日，由巴羅推薦，26歲的牛頓繼巴羅之后成為第二位“盧卡斯數(shù)學教授席位”的擁有者。他擔任這個職務直到53歲，長達26年。 [3]
1672年，牛頓被推選為倫敦皇家學會會員。為了表達謝意，他向?qū)W會干事巴格提交了一篇論文，研究光色來源，認為光是與以太相互作用產(chǎn)生波的高速度粒子流。這是牛頓公開發(fā)表的第一篇論文，刊載于《皇家學會哲學雜志》上。不料，他的論點直接同皇家學會創(chuàng)始人之一、科學家羅伯特·胡克倡導的波動說沖突，引起了一場大論戰(zhàn)。波動說認為光是以太的縱向振動，振動頻率決定光色，波動說不久又得到荷蘭科學家克里斯蒂安·惠更斯的強力支持。有關光的本性問題，波動說和微粒說一直爭論到20世紀，才以光的波粒二象性為結論告一段落，也就是說，光既有波動性又有粒子性。牛頓厭惡這一爭論，曾在寫給一位朋友的信里說：“因為我發(fā)表了先前的論文，引起了許多非議，使我精神上受到沉重打擊。我失去了平靜而有意義的幸福生活，而被這無聊的爭吵弄得心緒煩亂。這真是無聊透頂，我越來越后悔，不該輕率地發(fā)表那篇論文。” [3]
1688年，英國發(fā)生了“光榮革命”，第二年，牛頓被劍橋大學推作國會議員。不久，母親漢娜病逝，但牛頓仍一直不停研究光學。 [3]
1692年，光學手稿整理告一段落，牛頓又從機械力學體系提出經(jīng)典宇宙學說。 [3]
1696年，牛頓的同學查爾斯·蒙塔古任財政大臣，當時英國貨幣制度非常混亂，在國內(nèi)國外失掉信用，蒙特格便請牛頓來擔任英國皇家造幣廠副廠長，解決貨幣困難。1699年，牛頓升任造幣廠廠長，任職直至去世。 [3]他主持了英國最大的貨幣重鑄工作，此職位一般都是閑職，但牛頓卻非常認真的對待。身為皇家鑄幣廠的主管官員，牛頓估計大約有20%的硬幣是偽造的。為那些惡名昭著的罪犯定罪是非常困難的；不過事實證明牛頓做得很好。牛頓為此當上了太平紳士。
1703年，60歲的牛頓被推選為皇家學會會長。 [3]他任職24年之久，在歷任會長中，其任期僅次于約瑟夫·班克斯，同時也是法國科學院的會員。牛頓利用英國皇家學會會長的身份進行科學組織活動。近代的數(shù)學、物理學和天文學是從牛頓開始創(chuàng)立的。他在近代科學史上占有極為重要的地位。 [27]
1704年，牛頓的《光學》一書問世，此書副標題是“關于光的反射、折射、彎曲和顏色的論述”，書中總結了牛頓的研究成果，也是牛頓對前人一切原理和定律的綜合。同年又出版《三次曲線枚舉》《利用無窮級數(shù)求曲線的面積和長度》《流數(shù)法》等數(shù)學著作。 [3]
1705年，安妮女王封牛頓為爵士，表示對科學家的推崇。 [6]牛頓成為貴族后，在倫敦威斯敏斯特附近的杰爾明設有自己的公館，還在鄉(xiāng)下買了一所莊園。
1711年，牛頓發(fā)表《使用級數(shù)、流數(shù)等等的分析》。他的一生充滿追求真理、無限熱愛科學的精神。 [3]
牛頓晚年熱衷于研究宗教神學。他常常患病，據(jù)說患有腎結石癥。 [27]
1727年3月，在出席了皇家學會的例會以后，牛頓突然發(fā)病，回到倫敦附近的肯吉敦的家中，并于3月31日（格蘭歷）拂曉前逝世，享年84歲（未滿85歲）。 [3] [23]據(jù)說他的臨終遺言是：
我不知道世上的人對我怎樣評價。我卻這樣認為：我好像是在海濱上玩耍的孩子，時而拾到幾塊瑩潔的石子，時而拾到幾片美麗的貝殼并為之歡欣。那浩瀚的真理的海洋仍展現(xiàn)在面前。 [3]
牛頓被埋葬在威斯敏斯特教堂（西敏寺）。他的墓地位于威斯敏斯特教堂正面大廳的中央，也就是中殿（nave）那里，墓地上方聳立著一尊牛頓的雕像，其石像倚坐在一堆書籍上，雙手合十。身邊有兩位天使，還有一個巨大的地球造型以紀念他在科學上的功績。他的墓碑上鐫刻著：“讓人們歡呼這樣一位多么偉大的人類榮耀曾經(jīng)在世界上存在。” [30]
1679年，牛頓重新回到力學的研究中：引力及其對行星軌道的作用、開普勒的行星運動定律、與胡克和弗拉姆斯蒂德在力學上的討論。他將自己的成果歸結在《物體在軌道中之運動》（1684年）一書中，該書中包含有初步的、后來在《原理》中形成的運動定律。 [5]
《自然哲學的數(shù)學原理》（現(xiàn)常簡稱作《原理》）在埃德蒙·哈雷的鼓勵和支持下出版于1687年7月5日。該書中牛頓闡述了其后兩百年間都被視作真理的三大運動定律。牛頓使用拉丁單詞“gravitas”（沉重）來為現(xiàn)今的引力（gravity）命名，并定義了萬有引力定律。在這本書中，他還基于波義耳定律提出了首個分析測定空氣中音速的方法。 [5]
由于《原理》的成就，牛頓得到了國際性的認可，并為他贏得了一大群支持者：牛頓與其中的瑞士數(shù)學家尼古拉·法蒂奧·丟勒建立了非常親密的關系，直到1693年他們的友誼破裂。這場友誼的結束讓牛頓患上了神經(jīng)衰弱。 [5]
牛頓在伽利略等人工作的基礎上進行深入研究，總結出了物體運動的三個基本定律（牛頓三定律）：
第一定律（即慣性定律）
任何一個物體在不受任何外力或受到的力平衡時（Fnet=0），總保持勻速直線運動或靜止狀態(tài)，直到有作用在它上面的外力迫使它改變這種狀態(tài)為止。
第二定律
①牛頓第二定律是力的瞬時作用規(guī)律。力和加速度同時產(chǎn)生、同時變化、同時消逝。②F=ma是一個矢量方程，應用時應規(guī)定正方向，凡與正方向相同的力或加速度均取正值，反之取負值，一般常取加速度的方向為正方向。③根據(jù)力的獨立作用原理，用牛頓第二定律處理物體在一個平面內(nèi)運動的問題時，可將物體所受各力正交分解，在兩個互相垂直的方向上分別應用牛頓第二定律的分量形式：Fx=max，F(xiàn)y=may列方程。
牛頓第二定律的六個性質(zhì)：①因果性：力是產(chǎn)生加速度的原因。②同體性：F合、m、a對應于同一物體。 ③矢量性：力和加速度都是矢量，物體加速度方向由物體所受合外力的方向決定。牛頓第二定律數(shù)學表達式∑F = ma中，等號不僅表示左右兩邊數(shù)值相等，也表示方向一致，即物體加速度方向與所受合外力方向相同。④瞬時性：當物體（質(zhì)量一定）所受外力發(fā)生突然變化時，作為由力決定的加速度的大小和方向也要同時發(fā)生突變；當合外力為零時，加速度同時為零，加速度與合外力保持一一對應關系。牛頓第二定律是一個瞬時對應的規(guī)律，表明了力的瞬間效應。⑤相對性：自然界中存在著一種坐標系，在這種坐標系中，當物體不受力時將保持勻速直線運動或靜止狀態(tài)，這樣的坐標系叫慣性參照系。地面和相對于地面靜止或做勻速直線運動的物體可以看作是慣性參照系，牛頓定律只在慣性參照系中才成立。⑥獨立性：作用在物體上的各個力，都能各自獨立產(chǎn)生一個加速度，各個力產(chǎn)生的加速度的矢量和等于合外力產(chǎn)生的加速度。
適用范圍：①只適用于低速運動的物體（與光速比速度較低）。②只適用于宏觀物體，牛頓第二定律不適用于微觀原子。③參照系應為慣性系。兩個物體之間的作用力和反作用力，在同一直線上，大小相等，方向相反。（詳見牛頓第三運動定律）
第三定律
表達式 F=-F' （F表示作用力，F(xiàn)'表示反作用力，負號表示反作用力F'與作用力F的方向相反）
這三個非常簡單的物體運動定律，為力學奠定了堅實的基礎，并對其他學科的發(fā)展產(chǎn)生了巨大影響。第一定律的內(nèi)容伽利略曾提出過，后來R.笛卡兒做過形式上的改進，伽利略也曾非正式地提到第二定律的內(nèi)容。第三定律的內(nèi)容則是牛頓在總結C·雷恩、J·沃利斯和C·惠更斯等人的結果之后得出的。
牛頓是萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)者。他在1665至1666年開始考慮這個問題。萬有引力定律（Law of universal gravitation）是艾薩克·牛頓在1687年于《自然哲學的數(shù)學原理》上發(fā)表的。1679年，R·胡克在寫給他的信中提出，引力應與距離平方成反比，地球高處拋體的軌道為橢圓，假設地球有縫，拋體將回到原處，而不是像牛頓所設想的軌道是趨向地心的螺旋線。牛頓沒有回信，但采用了胡克的見解。在開普勒行星運動定律以及其他人的研究成果上，他用數(shù)學方法導出了萬有引力定律。
牛頓把地球上物體的力學和天體力學統(tǒng)一到一個基本的力學體系中，創(chuàng)立了經(jīng)典力學理論體系。正確地反映了宏觀物體低速運動的宏觀運動規(guī)律，實現(xiàn)了自然科學的第一次大統(tǒng)一。這是人類對自然界認識的一次飛躍。
牛頓指出流體粘性阻力與剪切率成正比。他說：流體部分之間由于缺乏潤滑性而引起的阻力，如果其他都相同，與流體部分之間分離速度成比例。在此把符合這一規(guī)律的流體稱為牛頓流體，其中包括最常見的水和空氣，不符合這一規(guī)律的稱為非牛頓流體。
在給出平板在氣流中所受阻力時，牛頓對氣體采用粒子模型，得到阻力與攻角正弦平方成正比的結論。這個結論一般地說并不正確，但由于牛頓的權威地位，后人曾長期奉為信條。20世紀，T·卡門在總結空氣動力學的發(fā)展時曾風趣地說，牛頓使飛機晚一個世紀上天。
關于聲的速度，牛頓正確地指出，聲速與大氣壓力平方根成正比，與密度平方根成反比。但由于他把聲傳播當作等溫過程，結果與實際不符，后來P.-S.拉普拉斯從絕熱過程考慮，修正了牛頓的聲速公式。 [3]
大多數(shù)現(xiàn)代歷史學家都相信，牛頓與萊布尼茨獨立發(fā)展出了微積分學，并為之創(chuàng)造了各自獨特的符號。根據(jù)牛頓周圍的人所述，牛頓要比萊布尼茨早幾年得出他的方法，但在1693年以前他幾乎沒有發(fā)表任何內(nèi)容，并直至1704年他才給出了其完整的敘述。其間，萊布尼茨已在1684年發(fā)表了他的方法的完整敘述。此外，萊布尼茨的符號和“微分法”被歐洲大陸全面地采用，在大約1820年以后，英國也采用了該方法。萊布尼茨的筆記本記錄了他的思想從初期到成熟的發(fā)展過程，而在牛頓已知的記錄中只發(fā)現(xiàn)了他最終的結果。牛頓聲稱他一直不愿公布他的微積分學，是因為他怕被人們嘲笑。牛頓與瑞士數(shù)學家尼古拉·法蒂奧·丟勒（Nicolas Fatio de Duillier）的聯(lián)系十分密切，后者一開始便被牛頓的引力定律所吸引。1691年，丟勒打算編寫一個新版本的牛頓《自然哲學的數(shù)學原理》，但從未完成它。一些研究牛頓的傳記作者認為他們之間的關系可能存在愛情的成分。不過，在1694年這兩個人之間的關系冷卻了下來。在那個時候，丟勒還與萊布尼茨交換了幾封信件。
在1699年初，皇家學會（牛頓也是其中的一員）的其他成員們指控德意志數(shù)學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，爭論在1711年全面爆發(fā)了。 [27]牛頓所在的英國皇家學會宣布，一項調(diào)查表明了牛頓才是真正的發(fā)現(xiàn)者，而萊布尼茨被斥為騙子。但在后來，發(fā)現(xiàn)該調(diào)查評論萊布尼茨的結語是由牛頓本人書寫，因此該調(diào)查遭到了質(zhì)疑。這導致了激烈的牛頓與萊布尼茨的微積分學論戰(zhàn)，并破壞了牛頓與萊布尼茨的生活，直到后者在1716年逝世。這場爭論在英國和歐洲大陸的數(shù)學家間劃出了一道鴻溝，并可能阻礙了英國數(shù)學至少一個世紀的發(fā)展。
牛頓的一項被廣泛認可的成就是廣義二項式定理，它適用于任何冪。他發(fā)現(xiàn)了牛頓恒等式、牛頓法，分類了立方面曲線（兩變量的三次多項式），為有限差理論作出了重大貢獻，并首次使用了分式指數(shù)和坐標幾何學得到丟番圖方程的解。他用對數(shù)趨近了調(diào)和級數(shù)的部分和（這是歐拉求和公式的一個先驅(qū)），并首次有把握地使用冪級數(shù)和反轉(zhuǎn)（revert）冪級數(shù)。他還發(fā)現(xiàn)了π的一個新公式。
他在1669年被授予盧卡斯數(shù)學教授席位。在那一天以前，劍橋或牛津的所有成員都是經(jīng)過任命的圣公會牧師。不過，盧卡斯教授之職的條件要求其持有者不得活躍于教堂（大概是如此可讓持有者把更多時間用于科學研究上）。牛頓認為應免除他擔任神職工作的條件，這需要查理二世的許可，后者接受了牛頓的意見。這樣避免了牛頓的宗教觀點與圣公會信仰之間的沖突。
17世紀以來，原有的幾何和代數(shù)已難以解決當時生產(chǎn)和自然科學所提出的許多新問題，例如：如何求出物體的瞬時速度與加速度？如何求曲線的切線及曲線長度（行星路程）、矢徑掃過的面積、極大極小值（如近日點、遠日點、最大射程等）、體積、重心、引力等等；盡管牛頓以前已有對數(shù)、解析幾何、無窮級數(shù)等成就，但還不能圓滿或普遍地解決這些問題。當時笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》對牛頓的影響最大。牛頓將古希臘以來求解無窮小問題的種種特殊方法統(tǒng)一為兩類算法：正流數(shù)術（微分）和反流數(shù)術（積分），反映在1669年的《運用無限多項方程》、1671年的《流數(shù)術與無窮級數(shù)》、1676年的《曲線求積術》三篇論文和《原理》一書中，以及被保存下來的1666年10月他寫的在朋友們中間傳閱的一篇手稿《論流數(shù)》中。所謂“流量”就是隨時間而變化的自變量如x、y、s、u等，“流數(shù)”就是流量的改變速度即變化率，寫作等。他說的“差率”“變率”就是微分。與此同時，他還在1676年首次公布了他發(fā)明的二項式展開定理。牛頓利用它還發(fā)現(xiàn)了其他無窮級數(shù)，并用來計算面積、積分、解方程等等。1684年萊布尼茲從對曲線的切線研究中引入了和拉長的S作為微積分符號，從此牛頓創(chuàng)立的微積分學在大陸各國迅速推廣。
微積分的出現(xiàn)，成了數(shù)學發(fā)展中除幾何與代數(shù)以外的另一重要分支——數(shù)學分析（牛頓稱之為“借助于無限多項方程的分析”），并進一步發(fā)展為微分幾何、微分方程、變分法等等，這些又反過來促進了理論物理學的發(fā)展。例如瑞士數(shù)學家約翰·伯努利曾征求最速降落曲線的解答，這是變分法的最初始問題，半年內(nèi)全歐數(shù)學家無人能解答。1697年，一天牛頓偶然聽說此事，當天晚上一舉解出，并匿名刊登在《哲學學報》上。伯努利驚異地說：“從這鋒利的爪中我認出了雄獅”。 [22]
微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學成就。牛頓為解決運動問題，才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學理論的，牛頓稱之為"流數(shù)術"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數(shù)的極大和極小值問題等，在牛頓前已經(jīng)得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的結論加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法——微分和積分，并確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發(fā)明中最關鍵的一步，為近代科學發(fā)展提供了最有效的工具，開辟了數(shù)學上的一個新紀元。
牛頓沒有及時發(fā)表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所采取的表達形式更加合理，而且關于微積分的著作出版時間也比牛頓早。
在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場軒然大波，這種爭吵在各自的學生、支持者和數(shù)學家中持續(xù)了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數(shù)學家和英國數(shù)學家的長期對立。英國數(shù)學在一個時期里閉關鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術”中停步不前，因而數(shù)學發(fā)展整整落后了一百年。
1707年，牛頓的代數(shù)講義經(jīng)整理后出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數(shù)基礎及其（通過解方程）在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數(shù)基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數(shù)方程，同時對方程的根及其性質(zhì)進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如：他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出可以利用方程系數(shù)確定方程根之冪的和數(shù)，即“牛頓冪和公式”。
牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓（或稱曲線圓）概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。并將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，于1704年發(fā)表。此外，他的數(shù)學工作還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領域。
牛頓在前人工作的基礎上，提出“流數(shù)（fluxion）法”，建立了二項式定理，并和萊布尼茨幾乎同時創(chuàng)立了微積分學，得出了導數(shù)、積分的概念和運算法則，闡明了求導數(shù)和求積分是互逆的兩種運算，為數(shù)學的發(fā)展開辟了一個新紀元。 [31]
在一六六五年，剛好二十二歲的牛頓發(fā)現(xiàn)了二項式定理，這對于微積分的充分發(fā)展是必不可少的一步。二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的應用。
二項式級數(shù)展開式是研究級數(shù)論、函數(shù)論、數(shù)學分析、方程理論的有力工具。在今天我們會發(fā)覺這個方法只適用于n是正整數(shù)，當n是正整數(shù)1，2，3，……，級數(shù)終止在正好是n+1項。如果n不是正整數(shù)，級數(shù)就不會終止，這個方法就不適用了。但是我們要知道那時，萊布尼茨在一六九四年才引進函數(shù)這個詞，在微積分早期階段，研究超越函數(shù)時用它們的級來處理是所用方法中最有成效的。 [3]
牛頓曾致力于顏色的現(xiàn)象和光的本性的研究。1666年，他用三棱鏡研究日光，得出結論：白光是由不同顏色（即不同波長）的光混合而成的，不同波長的光有不同的折射率。在可見光中，紅光波長最長，折射率最小；紫光波長最短，折射率最大。牛頓的這一重要發(fā)現(xiàn)成為光譜分析的基礎，揭示了光色的秘密。牛頓還曾把一個磨得很精、曲率半徑較大的凸透鏡的凸面，壓在一個十分光潔的平面玻璃上，在白光照射下可看到，中心的接觸點是一個暗點，周圍則是明暗相間的同心圓圈。后人把這一現(xiàn)象稱為“牛頓環(huán)”。他創(chuàng)立了光的“微粒說”，從一個側面反映了光的運動性質(zhì)，但牛頓對光的“波動說”并不持反對態(tài)度。
1704年，牛頓著成《光學》，系統(tǒng)闡述他在光學方面的研究成果，其中他詳述了光的粒子理論。他認為光是由非常微小的微粒組成的，而普通物質(zhì)是由較粗微粒組成，并推測如果通過某種煉金術的轉(zhuǎn)化“難道物質(zhì)和光不能互相轉(zhuǎn)變嗎？物質(zhì)不可能由進入其結構中的光粒子得到主要的動力（Activity）嗎？”牛頓還使用玻璃球制造了原始形式的摩擦靜電發(fā)電機。
提出光的微粒說
從1670年到1672年，牛頓負責講授光學。在此期間，他研究了光的折射，表明棱鏡可以將白光發(fā)散為彩色光譜，而透鏡和第二個棱鏡可以將彩色光譜重組為白光。他還通過分離出單色的光束，并將其照射到不同的物體上的實驗，發(fā)現(xiàn)了色光不會改變自身的性質(zhì)。牛頓還注意到，無論是反射、散射或發(fā)射，色光都會保持同樣的顏色。因此，我們觀察到的顏色是物體與特定有色光相合的結果，而不是物體產(chǎn)生顏色的結果。
從這項工作中，他得出了如下結論：任何折光式望遠鏡都會受到光散射成不同顏色的影響，并因此發(fā)明了反射式望遠鏡（現(xiàn)稱作牛頓望遠鏡）來回避這個問題。他自己打磨鏡片，使用牛頓環(huán)來檢驗鏡片的光學品質(zhì)，制造出了優(yōu)于折光式望遠鏡的儀器，而這都主要歸功于其大直徑的鏡片。1671年，他在皇家學會上展示了自己的反射式望遠鏡。皇家學會的興趣鼓勵了牛頓發(fā)表他關于色彩的筆記，這在后來擴大為《光學》（Opticks）一書。但當羅伯特·胡克批評了牛頓的某些觀點后，牛頓對其很不滿并退出了辯論會。兩人自此以后成為了敵人，這一直持續(xù)到胡克去世。
牛頓認為光是由粒子或微粒組成的，并會因加速通過光密介質(zhì)而折射，但他也不得不將它們與波聯(lián)系起來，以解釋光的衍射現(xiàn)象。而其后世的物理學家們則更加偏愛以純粹的光波來解釋衍射現(xiàn)象。現(xiàn)代的量子力學、光子以及波粒二象性的思想與牛頓對光的理解只有很小的相同點。
在1675年的著作《解釋光屬性的解說》（Hypothesis Explaining the Properties of Light）中，牛頓假定了以太的存在，認為粒子間力的傳遞是透過以太進行的。不過牛頓在與神智學家亨利·莫爾（Henry More）接觸后重新燃起了對煉金術的興趣，并改用源于漢密斯神智學（Hermeticism）中粒子相吸互斥思想的神秘力量來解釋，替換了先前假設以太存在的看法。擁有許多牛頓煉金術著作的經(jīng)濟學大師約翰·梅納德·凱恩斯曾說：“牛頓不是理性時代的第一人，他是最后的一位煉金術士。”但牛頓對煉金術的興趣卻與他對科學的貢獻息息相關，而且在那個時代煉金術與科學也還沒有明確的區(qū)別。如果他沒有依靠神秘學思想來解釋穿過真空的超距作用，他可能也不會發(fā)展出他的引力理論。 [3]
牛頓確定了冷卻定律，即當物體表面與周圍有溫差時，單位時間內(nèi)從單位面積上散失的熱量與這一溫差成正比。 [3]
牛頓1672年創(chuàng)制了反射望遠鏡。他用質(zhì)點間的萬有引力證明，密度呈球?qū)ΨQ的球體對外的引力都可以用同質(zhì)量的質(zhì)點放在中心的位置來代替。他還用萬有引力原理說明潮汐的各種現(xiàn)象，指出潮汐的大小不但同月球的位相有關，而且同太陽的方位有關。牛頓預言地球不是正球體。歲差就是由于太陽對赤道突出部分的攝動造成的。 [3]
牛頓的哲學思想基本屬于自發(fā)的唯物主義，他承認時間、空間的客觀存在。如同歷史上一切偉大人物一樣，牛頓雖然對人類作出了巨大的貢獻，但他也不能不受時代的限制。例如，他把時間、空間看作是同運動著的物質(zhì)相脫離的東西，提出了所謂絕對時間和絕對空間的概念；他對那些暫時無法解釋的自然現(xiàn)象歸結為上帝的安排，提出一切行星都是在某種外來的“第一推動力”作用下才開始運動的說法。
《自然哲學的數(shù)學原理》牛頓最重要的著作，1687年出版。該書總結了他一生中許多重要發(fā)現(xiàn)和研究成果，其中包括上述關于物體運動的定律。他說，該書“所研究的主要是關于重、輕流體抵抗力及其他吸引運動的力的狀況，所以我們研究的是自然哲學的數(shù)學原理。”該書傳入中國后，中國數(shù)學家李善蘭曾譯出一部分，但未出版，譯稿也遺失了。現(xiàn)有的中譯本是數(shù)學家鄭太樸翻譯的，書名為《自然哲學之數(shù)學原理》，1931年商務印書館初版，1957、1958、2006年三次重印。 [3]
在1701年柏林宮廷的一次宴會上，普魯士國王腓特烈詢問德國數(shù)學家戈特弗里德·威廉·萊布尼茨對牛頓的看法，萊布尼茨說道：“在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數(shù)學中，牛頓的工作超過了一半（一說為‘從世界的開始直到牛頓生活的時代為止，對數(shù)學發(fā)展的貢獻絕大部分是牛頓做出的’ [29]）。” [28]
1726年，法國啟蒙思想家伏爾泰曾說過牛頓是最偉大的人，因為“他用真理的力量統(tǒng)治我們的頭腦，而不是用武力奴役我們”。
英國詩人亞歷山大·波普為牛頓寫下了以下這段墓志銘：
Nature and Nature' law lay hid in night ; God said,"Let Newton be," and all was light.（自然與自然的定律，都隱藏在黑暗之中；上帝說“讓牛頓來吧！”于是，一切變?yōu)楣饷鳌＃?/p>
法國科學家約瑟夫·拉格朗日經(jīng)常說牛頓是有史以來最偉大的天才。
法國科學家皮埃爾·西蒙·拉普拉斯寫道：“《原理》是人類智慧的產(chǎn)物中最卓越的杰作。” [32]
德國思想家弗里德里希·恩格斯在《英國狀況》一文中指出：“牛頓由于發(fā)明了萬有引力定律而創(chuàng)立了科學的天文學，由于進行了光的分解而創(chuàng)立了科學的光學，由于創(chuàng)立了二項式定理和無限理論而創(chuàng)立了科學的數(shù)學，由于認識了力的本性而創(chuàng)立了科學的力學。” [3]
經(jīng)濟學家約翰·梅納德·凱恩斯：“牛頓不是理性時代的第一人。他是最后一位魔法師……他看待可見世界和思想世界的方式，與數(shù)千年以來為人類思想傳承添磚加瓦的先哲前輩，并無不同”。對于牛頓精神狀態(tài)的老話題，凱恩斯確信，牛頓的神學和煉金術信仰出自一個精神正常的人&l
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